Bilangan Cacah

Bilangan pecahan (Real Numbers) memiliki arti bilangan yang memiliki angka di sebelah tanda koma (atau titik, dalam format internasional) ada 2 jenis bilangan pecahan:

1. Bilangan Rasional

Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b}.

Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja.

Contoh:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan \frac{2}{3}. Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
3. Pecahan \frac{35}{42}. Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional juga.

Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:

Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi \frac{98787768638}{100000000000}.

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525…?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525…. _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525…. ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525… – 0,252525252525…
99A = 25
A = \frac{25}{99}.
Ternyata bilangan 0,252525252525… dapat dibentuk menjadi pecahan \frac{a}{b} di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525… adalah bilangan rasional.

Apakah 0,12111111… adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A = \frac{109}{900}.
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.

Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?
Jawab:
Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional.

Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?
Jawab:
Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah.

Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan \frac{a}{b} paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….
Jawab:
0,\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}...
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah \frac{123}{\underbrace{999}_{3}}.
Setelah disederhanakan maka menjadi \frac{41}{333}.

2. Jika \frac{a}{b} adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517…. Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:.
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

2. Bilangan Irasional
Nah, sekarang kita baru lanjut ke “Bilangan Irasional”. Tentunya, jika sudah paham tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika bilangan itu tidak dapat dijadikan pecahan \frac{a}{b}, maka bilangan itu irasional.

Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional?
Jawab:

Ya. Misalnya pi yang disimbolkan \pi dengan digit 3,14159265358979323846264…. Digit-digit itu tak pernah berulang. Oleh karena itulah \pi tidak bisa dijadikan pecahan \frac{a}{b}. Begitu pula dengan \sqrt{2} yang digit-digitnya adalah 1,41421356237309504880168872420969807….

Oh iya, bilangan \sqrt{2} juga merupakan bilangan irasional yang pertama kali berhasil dibuktikan orang sebelum Masehi. Orang itu bernama Hippapus (Sumber: ariaturns).

Untuk membuktikan apakah \sqrt{2} itu irasional, kita tidak perlu menghitung semua digitnya karena digitnya itu infinite (tak hingga) banyaknya. Hippapus berhasil memberikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya.

Bagaimana cara membuktikan bahwa \sqrt{2} itu bilangan irasional?
Jawab:
Untuk membuktikan \sqrt{2} adalah irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi (proof by contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar.

Pertama, asumsikan bahwa \sqrt{2} bilangan rasional yang bisa dibentuk menjadi \frac{a}{b}.

\sqrt{2} = \frac{a}{b}
Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi:
2 b^2 = a^2

Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k.

2 b^2 = (2k)^2
b^2 = 4k^2

Maka mengakibatkan b^2 juga genap. Artinya b haruslah genap.
Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak akan ada a dan b yang memenuhi kondisi \sqrt{2} = \frac{a}{b}. Jadi, \sqrt{2} adalah bilangan irasional.

(Sumber: ariaturns)

Bagaimana cara membuktikan bahwa 2log 3 adalah bilangan irasional?
Jawab:
Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya.
Asumsikan bahwa 2log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka kita dapat:

2log 3 = \frac{m}{n}
2^{\frac{m}{n}} = 3
2^m = 3^n
Di sini kita akan menemui sesuatu yang kontradiktif. Ruas kiri, 2^m, akan selalu bernilai genap untuk semua nilai m, sedangkan untuk ruas kanan, 3^n akan selalu bernilai ganjil untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi, 2log 3 adalah bilangan irasional.

Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?
Jawab:
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut.
a^b = c, di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional.

Seandainya, kita ambil contoh a = \sqrt{2} dan b = \sqrt{2}, maka kita tentunya bisa saja menganggap bahwa \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} sebagai salah satu contoh bilangan rasional. Maka, di sini jawabannya sudah didapat.

Namun, apabila \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} itu merupakan bilangan irasional, maka kita bisa menganggap bahwa a = \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} dan b = \sqrt{2}, dengan demikian c = . Artinya, c = 2, merupakan jawaban yang dimaksud.

Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional?
Jawab:

Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk \sqrt{n^2}misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional.

Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional.
Misalnya, \frac{2}{3} merupakan bilangan rasional, namun \sqrt{\frac{2}{3}} , , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan?

Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional.